После окончания школы поступил на лечебный факультет Ставропольского государственного медицинского института. По окончанию Вуза был направлен в Чечено-Ингушскую АССР, где работал врачом-патологоанатомом, заведующим патологоанатомическим отделением республиканской больницы, являлся главным внештатным патологоанатомом Минздрава ЧИАССР.

В 1980 году Анатолий Васильевич получил новое назначение – в Бюро судебно-медицинской экспертизы Ставропольского края, продолжив, таким образом, семейную традицию – его отец, Василий Михайлович Копылов, кандидат медицинских наук, проработал в Бюро более 40 лет. Анатолий Васильевич прошел все ступени карьерного роста от межрайонного судебно-медицинского эксперта, заведующего межрайонным судебно-медицинским отделением до заместителя начальника Бюро по экспертной работе на Кавминводах. В 2003 году был назначен начальником краевого Бюро.

В 2006 году в совете ГУ "Российский центр судебно-медицинской экспертизы" защитил кандидатскую диссертацию на тему: "Судебно-медицинская диагностика острой и хронической каннабиноидной интоксикации".

Является отличником здравоохранения, кандидатом медицинских наук, заслуженным врачом РФ, автором более 20 научных работ и статей по судебной медицине, опубликованных в сборниках и научно-практическом журнале «Судебно-медицинская экспертиза». Анатолий Васильевич Копылов удостоен множества правительственных наград. Среди них – медали губернатора Ставропольского края «За доблестный труд» 3-й степени и «За заслуги перед Ставропольским краем», ВВЦ «За успех в научно-техническом творчестве», Следственного комитета при Прокуратуре РФ «За содействие», памятный знак «55 лет со дня образования подразделений криминалистики в структуре следственных органов», Почетные грамоты Министерства Здравоохранения и социального развития РФ и Ставропольской государственной Думы, а также общественные награды – ордена Всемирной академии наук комплексной безопасности «За верность долгу» и «За заслуги в развитии медицины и здравоохранения».

С сентября 2014 года назначен на должность заведующего кафедрой судебной медицины и права ФГБОУ ВО СтГМУ.

С декабря 2016 г. назначен главным внештатным специалистом МЗ РФ по специальности «Судебно-медицинская экспертиза» по СКФО и Ставропольскому краю, член президиума Экспертного Совета при МЗ РФ.

В 2017 году присвоено ученое звание "Доцент" по специальности "Судебная медицина". 

Министром Здравоохранения РФ Мурашко М.А. 27 декабря 2021 г. награждён медалью им. Николая Александровича Семашко (удостоверение №47).